来自台湾的奥数题，解法非常巧妙，不看太可惜了（19年8月13日）

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第935天给出奥数题讲解。

今天的题目是综合应用题，

来自台湾的一次数学竞赛，

解题所用知识不超过小学4年级。

题目（4星难度）：

某正方形棋盘由99行99列的小正方格组成。对棋盘上的所有顶点染色，将大正方形的4个顶点中的1个染成红色，另外3个染成黑色，将棋盘上的其余交点随机染成红色或黑色。问所有小正方格中，有3个顶点同色的小正方格是奇数个还是偶数个？

辅导方法：

将题目写给小朋友，

让他自行思考解答，

若20分钟仍然没有思路，

再由家长进行提示性讲解。

讲解思路：

这道题属于组合问题，

题目中的问题是关于奇偶数，

但原题中是染色，

不能直接利用数字，

故自然想到赋值法，

把红色的顶点赋值为0，

把黑色的顶点赋值为1，

把每个小方格赋值为4个顶点值相加。

总的解题思路是：

先考虑棋盘上所有小方格的赋值之和，

再考虑不同类型小方格的赋值，

最后根据奇偶性得到答案。

步骤1：

先思考第一个问题，

棋盘上所有小方格的赋值之和是奇是偶？

由于每个小方格赋值为4个顶点值相加，

故考虑各顶点对应小方格的个数。

对大正方形的4个顶点来说，

每个顶点都只是1个小方格的顶点，

而这4个顶点中有1红3黑，

故这4个顶点的赋值之和是3；

对棋盘其余的交点来说，

要么是2个小方格的顶点，

要么是4个小方格的顶点，

不管是染成红色还是黑色，

这部分顶点的赋值之和都是偶数。

所有小方格的赋值之和，

就等于上述两部分的赋值相加。

注意到3是奇数，

因此所有小方格的赋值之和是奇数。

步骤2：

再思考第二个问题，

再考虑不同类型小方格的赋值。

从顶点颜色的角度来看，

小方格可以分成3种类型：

第一种是4个顶点同色，

这种小方格赋值一定是偶数；

第二种是3个顶点同色，

这种小方格赋值不是1就是3，

其赋值一定是奇数；

第三种是2个顶点同色，

这种小方格赋值是偶数2。

步骤3：

综合上述几个问题，

考虑原题目的答案。

对步骤2中的三种小方格来说，

第一、三种小方格不管有多少个，

其赋值之和一定是偶数；

第二种小方格的赋值之和的奇偶性，

与该种小方格的个数有关。

由于所有小方格的赋值之和，

等于步骤2中三种小方格赋值之和，

根据步骤1的结论，

所有小方格赋值之和是奇数，

由于只有奇数乘以奇数才是奇数，

因此第二种小方格的个数也是奇数，

所以有3个顶点同色的小方格是奇数个。

思考题（3星难度）：

原题目换个条件。

某正方形棋盘由99行99列的小正方格组成。对棋盘上的所有顶点染色，将大正方形的4个顶点中的2个染成红色，另外2个染成黑色，将棋盘上的其余交点随机染成红色或黑色。问所有小正方格中，有3个顶点同色的小正方格是奇数个还是偶数个？

微信回复“20190813”可获得思考题答案。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。

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